4.2.8 대각선 원소가 모두 1인 2차원 배열을 만드는 eye()

단위행렬(Identity Matrix)의 수학적 의미와 활용

주대각선만 1이고 나머지는 모두 0인 정방행렬

단위행렬 개념도 웹툰

수학에서의 단위행렬 사용 용도

행렬 곱셈의 세계에서 숫자 3 * 1 = 3의 숫자 1 역할을 하는 마법의 행렬이 있습니다.

이를 단위행렬(Identity Matrix, 기호 $I$)이라고 부릅니다. 규칙은 오직 “왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 떨어지는 주대각선만 1이고 나머지는 모두 0“이라는 것입니다. 방금 배운 zeros 영행렬 위에 대각선으로 1을 쫙 그어 내린 형태입니다.

단위행렬은 선형대수학에서 가장 핵심적인 근간을 이루는 항등원입니다.

  1. 행렬 곱셈의 진정한 항등원 (완벽한 거울): $A \times I = A$. 어떤 거대한 행렬이든 단위행렬($I$)을 행렬곱(Dot Product) 해주면 자기 자신의 모습이 하나도 왜곡되지 않고 그대로 거울처럼 튀어나옵니다.
  2. 역행렬(Inverse Matrix)의 기준: 수학에서 어떤 수에 역수를 곱하면 1이 되듯($3 \times \frac{1}{3} = 1$), 행렬에 역행렬을 곱하면 바로 이 단위행렬($I$)이 나옵니다. 미지수가 많은 방정식 시스템을 푸는 핵심 기준점이 됩니다.

수학적 단위행렬 동작 애니메이션

💡 헷갈리기 쉬운 개념: 일행렬(ones) vs 단위행렬(eye)

두 행렬 모두 “곱셈 연산에서 데이터를 보존(1)하는 데 쓰인다”는 공통점이 있지만, 사용하는 맥락이 완전히 다릅니다.

  1. np.ones (일행렬): 모든 칸이 1입니다. Numpy의 기본 곱셈 연산인 “요소별 곱셈(Element-wise Multiplication, A * B)”을 할 때 항등원으로 쓰입니다. 즉, 각각의 칸끼리 매칭해서 곱할 때 기존 값을 1배수로 유지해 줍니다.
  2. np.eye (단위행렬): 대각선만 1입니다. 선형대수학의 본격적인 “행렬 내적(Dot Product, np.dot(A, B))” 연산에서 진정한 수학적 항등원으로 쓰입니다. 여기서 만약 단위행렬이 아니라 일행렬(ones)을 행렬곱해 버리면, 행과 열이 전부 더해지면서 값이 의도치 않게 거대하게 증폭폭발해 버립니다!

넘파이에서 단위행렬 생성하기 및 프로그램 활용

넘파이 함수 eye()는 영단어 단위행렬을 뜻하는 대문자 ‘I(아이)’에서 발음을 따온 아주 재치 있는 네이밍입니다. 입력한 사이즈만큼 주대각선 원소가 1인 정사각형(또는 직사각형) 단위행렬을 즉시 뿜어냅니다.

eye() 애니메이션 동작 설명

프로그램에서 단위행렬의 의미 (언제, 어떤 용도로 사용할까?)

  • 수학 공식(선형대수)의 프로그래밍 구현: 파이썬으로 인공지능이나 물리 엔진의 수학 공식을 코드로 옮길 때 수식에 기호 $I$가 등장하면 무조건 np.eye()를 호출하여 공식의 뼈대를 맞춥니다.
  • 원핫 인코딩(One-Hot Encoding): 머신러닝에서 “강아지, 고양이, 새” 같은 문자열 카테고리 데이터를 컴퓨터가 이해하기 쉽게 [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] 등 0과 1의 배열 형태로 변환할 때, eye()로 큰 매트릭스를 만들어 두고 거기서 필요한 행만 쏙쏙 뽑아 쓰는 테크닉이 자주 활용됩니다.
  • 대각선 데이터 추출/마스킹: 복잡한 엑셀(표) 데이터에서 대각선에 위치한 데이터만 살리고 나머지를 0으로 덮어씌워 지우고 싶을 때 필터 용도로 쓰입니다.

numpy.eye() 함수

numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=<class 'float'>, order='C', *, like=None)
  • 대각선에 1이 있고 다른 곳에는 0이 있는 2차원 배열을 반환
  • N: int, 출력할 행(Height)의 개수
  • M: int, 선택 사항, 출력할 열(Width)의 개수. 입력하지 않으면 N과 동일하게 지정되어 정사각형 행렬(정방행렬)이 됨!
  • k: int, 대각선의 위치를 오르내리는 오프셋 슬라이더! 0(기본값)은 한가운데 메인 대각선, 양수(+)는 위쪽으로, 음수(-)는 아래쪽으로 그어 내리는 시작 위치를 바꿈
  • dtype: 데이터 유형, 선택 사항. 기본값은 실수를 뿜어내는 numpy.float64

내장함수 eye() 활용 예제

예제 1: 정사각형 형태의 단위행렬 만들기 (기본값)

다음 코드는 가로세로 크기가 3인 3행 3열짜리 2차원 정사각형 배열을 반환합니다. 기본값이 실수형이므로 1.0과 0.0으로 채워져 있습니다.

import numpy as np

# [1단계] 3x3의 거대한 영행렬(zeros) 캔버스를 만든다.
# [2단계] 좌상단부터 우하단까지 번개를 쳐서 주대각선만 1.0으로 바꾼다!
np.eye(3)

출력:

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

예제 2: 자료형(dtype)을 정수(int)로 강제 지정하기

소수점이 필요 없다면, 키워드 인자 dtype=int 값을 조절하여 깔끔한 정수 1과 0만 튀어나오게 만들 수 있습니다.

# 가로세로 2x2 사이즈 지정 후, 
# 내용물은 완벽한 정수(Integers)로만 채우기
np.eye(2, dtype=int)

출력:

array([[1, 0],
       [0, 1]])

예제 3: 직사각형 형태(행과 열이 다름)의 배열 만들기

np.eye(N, M) 처럼 가로세로 길이를 다르게 입력해주면, 정사각형이 아닌 직사각형 모양의 배열이 나옵니다. 이때 대각선 긋기는 (0, 0) 좌표에서 시작해서 갈 수 있는 데까지만 긋고 멈춥니다.

# 3행(세로) 4열(가로)의 넙적한 직사각형 배열 생성.
# 대각선은 [0,0] -> [1,1] -> [2,2] 까지만 무사히 1이 그어지고 멈춤!
np.eye(3, 4)

출력:

array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.]])

예제 4: 대각선을 출발하는 위치 슬라이더 조정하기 (k 오프셋 반환)

파라미터 k는 대각선 긋기를 시작하는 위치를 조절하는 매우 재밌는 슬라이더입니다!

  • k가 양수(+)이면: 메인 대각선보다 기수만큼 오른쪽(위쪽)으로 치우친 곳에서 대각선을 긋기 시작합니다.
  • k가 음수(-)이면: 메인 대각선보다 기수만큼 왼쪽(아래쪽)으로 치우친 곳에서 대각선을 긋기 시작합니다.
# 세로 3줄 가로 4칸의 직사각형 배열에
# k=1 이므로, 메인 대각선보다 오른쪽 한 칸 옆([0, 1] 지점)부터 선 긋기 시작!!
a = np.eye(3, 4, 1)
a

출력:

array([[0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]])

# 세로 3줄 가로 4칸의 배열에
# k=-1 이므로, 메인 대각선보다 아래쪽 한 칸 옆([1, 0] 지점)부터 선 긋기 시작!!
a = np.eye(3, 4, -1)
a

출력:

array([[0., 0., 0., 0.],
       [1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.]])
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